2004-07-16

条目质量提升——微积分

微积分学数学的一个基础分支学科,源于代数几何。内容主要包括函数极限导数微分学积分学及其应用。其中主要的是:微分学,介入分化方法。主要研究变化率(函数内的)的问题,如加速度曲线、斜坡等;积分学,介入综合化法來計算函数曲线下所包含的面积和旋體轉的容量等问题。 二个概念定义相反操作,实际上使微积分学的根本定理相当精确。

微积分的发展历史

一般以为微积分的发明人是古希腊的阿基米德,和15世纪戈特弗里德·威廉·莱布尼茨艾萨克·牛顿。莱布尼茨和牛顿曾为争夺微积分的发明权诉诸皇家学会仲裁。微积分实际被许多人不断地完善,也离不开巴罗笛卡尔费马惠更斯沃利斯的贡献。微积分的基础是微分积分极限。发展现代微积分理论的一个主要动力是为了解决“切线问题”。

微积分的主要内容

微积分主要有三大类分支:极限、微分学、积分学。微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运算。牛顿和莱布尼兹发现了这个定理以后才引起了其他学者对于微积分学的狂热的研究。这个发现使我们在微分和积分之间互相转换。这个基本理论也提供了一个用代数计算许多积分问题的方法,该方法并不真正进行极限运算而是通过发现不定积分。该理论也可以解决一些微分方程的问题,解决未知数的积分。微分问题在科学领域无处不在。

微积分的基本概念还包括函数无限数列连续等,运算方法主要有符号运算技巧,该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连。

微积分被延伸到微分方程向量微分变量微分时域微分微分拓扑等领域。微积分的现代的正式版本是数学分析

极限

微积分中最重要的概念是“极限”。从牛顿实际使用它到制定出周密的定义,数学家们奋斗了200多年。

数列极限就是当一个有顺序的数列往前延伸时,如果存在一个有限数,使这个数列可以没有限制地靠近这个数,这个数就是这个数列的极限。

数列极限的表示方法是:


\lim_{n \to \infty}x_n = x

其中x就是极限的值。例如当x_n = \frac{1}{2n}时,它的极限为x = 0。就是说n越大(越往前延伸),这个值越趋近于0

导数

我们知道在物理中,平均速度等于走过的距离除以所花费的时间,同样在一小段间隔的时间内,除上其走过的一小段距离,等于这一小段时间内的速度,但当这一小段间隔的时间趋于零时,这时的速度为瞬时速度,无法按照通常的除法计算,这时的速度为时间的导数。得用求导的方法计算。也就是说,一个函数的自变量趋近某一极限时,其因变量与自变量的商的极限即为导数。在速度问题上,距离是时间的因变量,随时间变化而变化,当时间趋于某一极限时,距离除以时间的极限即为时间的导数。

导数的几何意义为在函数曲线的这一点上的切线斜率

微分学

微分学主要研究函数自变量变化的时候,如何确定函数值的瞬时变化率(或微分)。也就是说,求导数的计算方法就叫微分学。微分学的另一个计算方法是牛顿法,该算法就是应用几何法,通过函数曲线的切线来找到要求的一点的斜率。费马常常被称为微分学的鼻祖。

积分学

积分学是微分学的逆运算,即从其导数通过运算找出原函数。一个函数的积分可以定义为无穷多小矩形的面积和,它等于函数曲线下所包含的实际面积。根据以上认识,我们可以用积分来计算平面上一条曲线包含的面积,球体圆锥体的表面积和体积等。

微积分的符号

微分学中无穷小量dxdy”由莱布尼兹首先使用,其中的d来源于德语中“差”Differentia的第一个字母。积分符号“\int”亦由莱布尼兹所创,它是德语中“总和”Summe的第一个字母s的伸长。

微积分的应用

微积分的发展和用途宽到几乎现代生活的所有区域。它联系到几乎所有科学,特别是工程计算,所以是工科学生的必修课,几乎所有现代发展譬如大厦技术、航空和几乎所有其它技术用微积分做根本。

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